اختبار كا2

اختبار كا²

مختبر الفروض: اختبار الاستقلالية بين متغير كيفيين.

يتيح اختبار الاستقلالية بين متغيرين، أو ما يصطلح عليه اختبار كا² أو اختبار كاى مربع، إمكانية الجواب على سؤال: هل المعطيات المستخرجة من معاينة عشوائية تمكن من استنتاج الاستقلالية بين متغيرين كيفيين من نفس العينة؟

بمعنى أننا أمام مختبر احصائي ندقق من خلاله في الأخطاء المتعلقة باختبار الفروض[i] أو ما يصطلح عليه بالخطأ العشوائي الوارد عند تحليل البيانات المستخلصة من عينة عشوائية؛ ولأجل ذلك نتساءل: ما هي مقدار المخاطرة في التعامل مع عينة لا تتوفر على نفس بنية مجتمع الدراسة؟.

وفي مستوى آخر ذو صلة، عندما يتحقق وجود رابط إحصائي بين متغيرين، علينا أن ندقق حول ما إذا كان هذا الترابط محط مصادفة؛ بمعنى انه ترابط غير ذي دلالة إحصائية أم أن الأمر على خلاف ذلك.

مجمل هذه الاختبارات الإحصائية يمكن تناولها من خلال التساؤل حول مدى صحة احتمال أن المجتمع المدروس ليس سوى عينة عشوائية عن مجتمع لا وجود واقعي فيه للرابطة الملاحظة.

من أجل تقديم مختلف مراحل هذا الاختبار ننطلق من مثال توضيحي: لنفترض بأننا نريد اختبار وجود رابط بين الجنس والنتائج الدراسية وذلك وفق البيان الجدولي أسفله.

كما هو واضح يميز الجدول بين متغيرين متغير الجنس بحيث هناك مجموعتين: مذكر/ مؤنث، ومتغير النتائج الدراسية الذي يتوزع إلى قيم مختلفة )ضعيف جدا، ضعيف...(

وبما أن الجدول من صنف الجداول التكرارية التقاطعية، فإن هذا يعني أنه يرصد بالتشخيص الرقمي المستويات الدراسية لعينة ما بناء على الجنس:

جدول التكرارات الملاحظة(f₀)

النتائج	الجنس
الدراسية	مؤنث	مذكر	المجموع
ضعيف جدا	8	20	28
ضعيف	14	45	59
جيد	32	31	63
جيد جدا	30	20	50
المجموع	84	116	200

يقتضي بسط اختبار كا ² المرور بخمس خطوات:

الخطوة الأولى: تسطير الفروض الاحصائية للبحث؛

                        بمعنى وضع الفرض العدمي (H₀) والفرض البديل(H₁) .

فالأكيد أنه مع كل اختبار فرضي، تبرز فرضيتان متناقضتان. تسمى الأولى بالفرض العدمي ويرمز لها بH₀، ويعتبر على طول الاختبار هذا الفرض بمثابة الفرض الصحيح الذي لا يمكن رفضه إلا إذا توفر لدينا ما يكفي من الدلائل لدحضه.

 في حين تسمى الفرضية الثانية بالفرض البديل أو الفرض البحثي ويرمز له ب H_1، ويتم الأخذ به في حالة تبين لنا سقوط الفرض العدمي. وفي غالب البحوث يمثل الفرض البديل افتراضات الباحث[1].

ورجوعا إلى المثال السابق نجد أن هناك فرضيتين:

الفرض العدمي H₀: لا وجود لأي علاقة بين الجنس والنتائج الدراسية. فكلا المتغيرين مستقلين عن بعضهما البعض.

الفرض البديل H₁: توجد علاقة بين الجنس والنتائج الدراسية.

الخطوة الثانية: التحقق من ظروف التطبيق.

إذا اعتبرنا الافتراض النظري القاضي بعدم وجود أي علاقة بين النتائج الدراسية والجنس، فإن تباين النتائج الدراسية للتلاميذ لن تكون تابعة للجنس، بمعنى؛ أن المجموعات الموزعة بناء على قيم متغير النتائج الدراسية تتوزع من صفة بين قيم متغير الجنس.

النتائج	الجنس
الدراسية	مؤنث	مذكر	المجموع
ضعيف جدا			28
ضعيف			59
جيد جدا			63
جيد جدا			50
المجموع	84	116	200

وبيانه: التلاميذ أصحاب النتائج الضعيفة جدا عددهم 28.

مجموع الفتيات: 84 فتاة.

مجموع العينة: 200 مفردة.

الفرض العدمي ينبني على تساوي التمثيلية: بمعنى أنه من بين مجموع عدد التلاميذ الذين حصلوا على نتائج دراسية ضعيفة جدا ينبغي أن يمثل الفتيات ب 42 %. وتمثل هذه النسبة حجم حضور الفتيات بين مجموع العينة المبحوثة: ()

ولكي نتعرف على نسبة الفتيات ضمن قيمة "ضعيف جدا" نقوم بالعملية التالية:   

تمثل هذه النسبة التكرار النظري الذي يؤيد الافتراض العدمي القاضي بعدم وجود أي علاقة بين متغير الجنس ومتغير النتائج الدراسية.

ولكي يُستَكمل بناء الجدول النظري علينا أن نستخرج نسبة الذكور كذلك عند نفس القيمة؛ أي عند "ضعيف جدا". مع العلم أنه لكي يمثل الذكور 50% من العينة لابد من القيام بالعملية التالية:  

وبالتالي فإن نسبة حضور الذكور عند قيمة ضعيف جدا ينبغي أن تحدد ب 58% من أصل 28 وهو مجموع من حاز على علامة ضعيف جدا. وحسابه  

وإذا جمعنا النسبتين المحصلتين معا: 16.24+11.76 نتحصل على ما مجموعه 28.

تقدم هذه التكرارات معطى رقمي ينتفي معه وجود أي علاقة بين المتغيرين محل الدراسة، وتسمى هذه التكرارات بالتكرارات النظرية ويرمز لها   f_t

يتم حساب كل f_t  لخانة معينة عن طريق: ضرب مجموع الصف في مجموع العمود مقسوم على المجموع العام:        =

                                                 

وعبر حساب f_t لكل الخانات يمكن بناء الجدول النظري ونحصل على الجدول التالي:

جدول التكرارات النظرية (f_t)

النتائج	الجنس
الدراسية	مؤنث	مذكر	المجموع
ضعيف جدا	11,76	16,24	28
ضعيف	24,78	34,22	59
جيد جدا	26,46	36,54	63
جيد جدا	21,00	29,00	50
المجموع	84	116	200

إن السؤال البديهي الذي يطرح نفسه مفاده لماذا نحسب كل هذه التكرارات النظرية؟

بما أننا نريد أن ندرس العلاقة بين التكرارات الدراسية وجنس التلاميذ، فلأجل ذلك وجب علينا المقارنة بين التكرارات النظرية والتكرارات المستقاة من الواقع، والتي تسمى التكرارات الملاحظة والتي يرمز لها ب f₀.

ولكي تتضح الصورة ينبغي أن نبني جدولا بحيث تظهر فيه التكرارات النظرية والتكرارات الملاحظة معا، جنبا إلى جنب:

جدول التكرارات الملاحظة (f_o)  والتكرارات النظرية  (f_t)

النتائج	الجنس
الدراسية	مؤنث		مذكر
	f0	ft	f0	ft	المجموع
ضعيف جدا	8	11,76	20	16,24	28
ضعيف	14	24,78	45	34,22	59
جيد جدا	32	26,46	31	36,54	63
جيد جدا	30	21,00	20	29,00	50
المجموع	84		116		200

من خلال ملاحظة الجدول أعلاه نسجل عدم تطابق التكرارات الملاحظة f₀ والتكرارات النظرية f_t. لو أن متغير النتائج الدراسية ومتغير الجنس مستقلين عن بعضهما البعض للاحظنا تطابقا بين التكرارات والنظرية والأخرى الملاحظة. وهو ما لم يتحقق وفق الجدول أعلاه، مما يأخذنا إلى استخلاص وجود علاقة ما بين المتغيرين. فإذا تحقق وجود علاقة بين المتغيرين وجب علينا قياس قوة هذه العلاقة. بمعنى أنه علينا حساب كا² بمعنى حساب فارق المطابقة.

يقيس كا² الفارق بين التكرارات النظرية والتكرارات الملاحظة.

ولحساب فارق المطابقة كا² وباستحضار الجدول السابق فإننا نجري المعادلة التالية:  ويرمز لها ب  

وعلى سبيل المثال وبخصوص تقاطع النساء عند قيمة "ضعيف جدا" ولقياس كا² نجري العملية التالية:

ونفس العملية نقوم بها لحساب باقي التقاطعات:

fo	ft	(fo - ft)2 / ft
8	11,76	(8 - 11,76)2 / 11,76 @ 1,202
14	24,78	(14 - 24,78)2 / 24,78 @ 4,690
32	26,46	(32 - 26,46)2 / 26,46 @ 1,160
30	21,00	(30 - 21,00)2 / 21,00 @ 3,857
20	16,24	(20 - 16,24)2 / 16,24 @ 0,871
45	34,22	(45 - 34,22)2 / 34,22 @ 3,396
31	36,54	(31 - 36,54)2 / 36,54 @ 0,840
20	29,00	(20 - 29,00)2 / 29,00 @ 2,793
		المجموع    =   18,809

ومن خلال جمع حاصل كل خانة نحصل على فارق المطابقة كا²:

كا²=18.809=c²

وكلما كبر كا² كلما زادت درجة الترابط بين المتغيرين. أما إذا كنا مع درجة ترابط منعدمة فإن حاصل كا² سيكون 0. بمعنى أن التكرارات الملاحظة كانت ستعادل/ تساوي التكرارات النظرية وبالتالي فإن كل قيمة  ستساوي 0.

من خلال الجدول أعلاه نلاحظ أن أكبر حاصل لفارق المطابقة يوجد عند التقاطعين مذكر  ضعيف \ومؤنث  ضعيف.

بالإضافة إلى أن التقاطع الأخير أظهر أن التكرارات الملاحظة أتت بفتيات أقل (14) عن التكرارات النظرية (24.78) مما يبعد القول باستقلالية المتغيرين.

فالفتيات يظهر أنهن أقل ضعفا من المتوقع في حين أنه عند تقاطع "مذكر/ضعيف" نلاحظ عدد الفتيان أكثر (45)، بمعنى أنه أكثر من المتوقع نظريا (34.22). بمعنى أن الفتيان أكثر ضعفا دراسيا من المتوقع.

في هذا السياق لزمت الإشارة بأن قانون كا² يخضع تطبيقه لبعض الشروط:

Ø ألا تقل التكرارات النظرية عن 5، بمعنى . وفي مثالنا هذا ومع كل التقاطعات لا وجود لتكرار نظري يقل عن 5. مما يعني أنه مثال يحترم قواعد تطبيق قانون كا².

أما لو تحقق وجود ولو تكرار واحد يقل أو يساوي 5 للزم الأمر تعديل الجدول من خلال دمج صفين أو عمودين إذا أمكن ذلك. وإلا فإننا نرفض نتائج كا² ولا نعتبرها بتاتا.

الخطوة الثالثة: تحديد مستوى المعنوية الاسمي.

يتم تحديد مستوى المعنوية والذي يرمز له ب a، في مطلع الدراسة يمثل مستوى المعنوية احتمال الخطأ الوارد تقبله عندما نرفض الفرض العدمي.

في مجال العلوم الاجتماعية مستوى المعنوية الأكثر شيوعا هو 5%، بالإضافة إلى أن مستويات المعنوية من 1% إلى 10% مستويات مقبولة ويجري تبنيها.   

يمكن مستوى المعنوية من تحديد منطقتين على المنحنى بالنسبة للفرض العدمي H₀: منطقة الرفض (وهي منطقة تظهر أن الفارق بين f₀ وf_t فارق كبير مما يعني صعوبة القبول بوجود استقلالية بين الخصائص) ومنطقة القبول (وهي منطقة الفارق بين f₀ وf_t فارق صغير). إن قيمة فارق التطابق () والتي تفصل بين المنطقتين تسمى Valeur critique  ويرمز لها ب: c²_c

نجدد التذكير بأن مستوى المعنوية = a 5%

الخطوة الرابعة: تحديد مستوى المعنوية الحقيقي Valeur critique

تتحدد قيمة مستوى المعنوية الحقيقي تبعا لمستوى المعنوية الاسمي (a =5%) وتتحدد كذلك تبعا لدرجة الحرية والذي يرمز له ب n (حرف لاتيني يعني "nu")

ما المقصود بدرجة الحرية؟ لأجل شرح المقصود بذلك نستعين بمثال توضيحي:

لدينا مجموعة مكونة من أربعة أفراد، إذا أردنا معرفة أعمارهم؛ علينا أن نسأل كل واحد منهم على حدى. ندعي وجود درجات حرية أكثر من الأفراد، وفي حالتنا هذه، 4. لنفترض أننا على علم بمجموع أعمار الأفراد الأربع. يكفي تعرفنا على أعمار ثلاثة منهم لكي نستخلص عمر الفرد الرابع. في هذه الحالة نقول أن الأفراد الأربعة لا يمثلون سوى ثلاث درجات حرية (4-1=3)

تتحدد درجة الحرية من خلال المعادلة التالية:

(عدد الأعمدة -1)*(عدد الصفوف-1)= n 

يقدم الجدول المرفق بالملحق، مستوى المعنوية الحقيقي لفارق المطابقة في تقابل مع مختلف مستويات المعنوية الاسمي ومع مختلف درجات الحرية.

في هذا الجدول نعثر على قيمة مستوى المعنوية الحقيقي لفارق المطابقة كا² في تقاطع الصف المتعلق بدرجة الحرية مع العمود المتعلق بمستوى المعنوية الاسمي.

في مثالنا: درجة الحرية   3=n و α مستوى المعنوية= 5%

c²_c=7.8147

بناء على القاعدة التي تقول:

إذا كانت c² أصغر في مستوى المعنوية الحقيقي c²_c نقبل الفرض العدمي. وإلا نرفض الفرض العدمي ونقبل الفرض البديل.

الخطوة الخامسة: قبول أو رفض الفرض العدمي

           رفض أو قبول الفرض العدمي تبعا لموقع كا² وعلاقته بمستوى المعنوية الحقيقي.

بالنسبة للمثال الذي ندرسه:

c²=18.809

c²_c=7.8147

بما أن كا² أكبر من مستوى المعنوية الحقيقي، فأننا نرفض الفرض العدمي H₀ وبالتالي نقبل الفرض البديل H₁.

مما يعني وجود علاقة بين الجنس والنتائج الدراسية: ويستفاد من ذلك أن التلاميذ لا يتصرفون بالنظر إلى نتائجهم الدراسية على نحو واحد بناء على طبيعتهم الجنسية.

وبالرجوع إلى جدول التكرارات النظرية والملاحظة نسجل وجود فوارق مهمة بين التكرارين، الملاحظة والمتوقعة\النظرية. فعلى سبيل المثال عند تقاطع "جيد جدا ومؤنث نجد 30 تلميذة، في حين أن المتوقع النظري أشار فقط إلى 21 لو أن المتغيرين (جنس/المستوى الدراسي)كانا مستقلان. وفي المقابل سجلت المعاينة التجريبية انخفاضا في عديد التلاميذ من جنس الذكور (20) عن المتوقع نظريا (29)، مما يؤكد وجود علاقة ترابط بين الجنس والنتائج الدراسية. فالإناث أكثر اجتهادا وأقل ضعفا من الذكور.

مثال_[2]:

      انطلاقا من معطيات المعاينة الإحصائية التي أوردها "ويستركراد" ورفيقه في الدراسة "ليتل" في معرض تقريرهما عن النظام السياسي البريطاني، حاول "بول غريمي" عرض البيانات المتعلقة برصد ظاهرة الولوج إلى أحد المعاهد الراقية "grammar school" جدوليا.

يعرض هذا الجدول التقاطعي علاقة الولوج التلاميذ للمعهد بطبيعة انتماء آبائهم السوسيومهنية.

Enfants	Admis		Exclus		Total
Pères	n	%	n	%	n	%
Classes supérieures	110	35,3	202	64,7	312	100
Employés	30	12,4	212	87,6	242	100
Ouvriers qualifiés	24	3,8	612	96,2	636	100
Ouvriers non qualifiés	9	2,7	328	97,3	337	100
Total	173	11,3	1354	88,7	1527	100

بملاحظة أولية للجدول يظهر وجود علاقة تبعية بين الأصل الاجتماعي للآباء ونسب القبول: 35.3% من الأطفال المنحدرين من أصول اجتماعية راقية قبل ترشحهم مقابل 2.7% من أبناء العمال؛ وهو ما يفيد أن التراتبية الاجتماعية ونسب قبول الترشحات  يتغيران في نفس الاتجاه.

تبقى هذه الملاحظة مجرد معاينة تفتقد للدليل العلمي. فللجواب على سؤال هل توجد علاقة تبعية بين متغير الانتماء السوسيومهني للآباء ومتغير قبول ترشح الأبناء ينبغي علينا وضع جدول للتكرارات النظرية التي تؤيد الفرض العدمي القاضي بانعدام العلاقة التبعية بين المتغيرين؛ بمعنى آخر: للأطفال المتبارين نفس حظوظ القبول كيفما كانت طبيعة الانتماء السوسيو اقتصادي للآباء.

	Admis	Exclus	Total
Classes supérieures	35,4	276,6	312
Employés	27,4	214,6	242
Ouvriers qualifiés	72	564	636
Ouvriers non qualifiés	38,2	298,8	337
Total	173	1354,4	1527

من منطلق البعد الوظيفي لهذا الفرض العدمي سنبني جدول التكرارات النظرية المتوقعة، وهو جدول يحافظ على نفس بنية الجدول التكرارات المشاهدة\الملاحظة واقعيا، مع اختلاف وضعيات المعطى الرقمي بناء على فرض استقلالية المتغيرين: نسب قبول الترشح مستقل عن الأصول الاجتماعية: تتساوى حظوظ قبول ترشحات الأطفال بغض النظر عن أصلهم الاجتماعي.

حاصل الفارق بين التكرارات الملاحظة والتكرارات النظرية (fo – ft)2/ft :

fo	ft	(fo - ft)2 / ft
110	35,4	(110 - 35,4)2 / 35,4 @ 157,2
202	276,6	(202 – 276,6)2 / 276,6 @ 20,12
30	27,4	(30 – 27,4)2 / 27,4 @ 0,25
212	214,6	(212 – 214,6)2 / 214,6 @ 0,03
24	72	(24 - 72)2 / 72 @ 32
612	564	(612 - 564)2 / 564 @ 4,08
9	38,2	(9 – 38,2)2 / 38,2 @ 22,32
328	298,8	(328 – 298,8)2 / 298,8 @ 2,85
		Total    =   239

c² =  239

n = 3

a = 5%.

Donc :

 

                =  7,814.

جليا جدا في هذه الحالة وجود علاقة تبعية بين الأصل الاجتماعي ونسب قبول الترشح: لأجل الولوج للمعهد؛ الأطفال من أصل اجتماعي راقي لهم حظوظ أوفر من أبناء العمال.

---

[1] راجع المحاضرة المعنونة: باختبار الفروض

[2] نقدم مثالا مستقى من دراسة قام بها جون بول كريمي (1977) عن تقرير أنجزه "ويستر كارد وليتل" (1969)

1)       جون بول كاريمي: مدخل لقراءة الجداول الإحصائية، LEMATS 1977

2)       ويستر كارد وليتل:

---

[i] كل ما لون بالأحمر هو موضوع دروس إلكترونية ستتوصلون بها في حينه.